亚里士多德的三段论-第26章

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　　　　由于P５９ａ应被消去，公式５９，即ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃP成了剩下的作为公理排斥的唯一的表达式。

　　　　其次我将应用ＲＳ规则再一次地反驳公式（Ｆ３）

　　　　：P６４×P８５。

　　　　ｄｃ，ｃａ＇　P８５。

　　　　ＣＥａｄＩｃｄP８５×P８６。

　　　　ｂａ＇　P８６。

　　　　ＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｄ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P８５，P８６→P８７＇　　　　　　　　　　　　　　　　＇　　　　　　　　　　　　　　　　　＇　P８７。

　　　　ＣＥａｄＣＥｂｄＩｃｄP８０×P８８。

　　　　ｂａ，ｄａ＇　　　　　　　　　　　　＇　P８。

　　　　ＣＥｂｃＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥｂｃ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P８８，P８６→P８９＇　P８９。

　　　　ＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｄ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P８７，P８９→P９０＇　P９０。

　　　　ＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄP８８×P９１。

　　　　ａｂ＇

……　163

　　　　３１。演绎的等值式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１５１

　　　　P９１。

　　　　ＣＥａｃＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｃ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P９１，P８６→P９２＇　P９２。

　　　　ＣＥａｃＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｃ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P９２，P８９→P９３＇　P９３。

　　　　ＣＥａｃＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｃ，βＥａｄ，γＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９３，P９０＇→P９４P９４。

　　　　ＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄP５×P９５，ｂｄ＇　P９５。

　　　　ＣＥａｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｂ，βＥｂｄ，γＩｃｄ×P９５，P８６→P９６＇　P９６。

　　　　ＣＥａｂＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｂ，βＥｂｃ，γＣＥｂｄＩｃｄ×P９６，P８９→P９７＇　P９７。

　　　　ＣＥａｂＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｂ，βＥａｄ，γＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９７，P９０＇　　　　　　　　　　　　　　　　＇　　　　　　　　　　　　　　＇→P９８P９８。

　　　　ＣＥａｂＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ

　　　　ＲＳ。

　　　　αＥａｄ，βＥａｃ，γＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ×P９８，＇　　　　　　　　　　　　　　＇　　　　　　　　　　　　　　＇　P９４→P９９P９

　　　　ＣＥａｂＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄＲＳ规则在这个推导中用了十次；α和β总是简单否定表达式，而γ在任何地方都是一个初等表达式。

　　　　用同样方式，我们能反驳（Ｆ４）

　　　　形式的其它公式，并且也能反驳第２８节的公式（Ｆ１）

　　　　，然而，没有必要进行这些推导，因为现在我们能够提出一般的判定问题。

……　164

　　　　２５１第五章　判定问题

　　　　３１。演绎的等值式A对于我们的判定证明，我们需要演绎的或推论的等值式的概念。

　　　　我认为由于对待这个概念有着一些误解，因此，它的意义必须谨慎地定义。

　　　　我将在演绎理论的基础上来做到这一点。

　　　　通常说有两个表达式α和β，当其如果α被断定了，就可以从α推导出β，反之，如果β被断定了，就可以从β推导出α，我们就说α与β是彼此演绎地等值的。

　　　　推论的各种规则总假定为已给定的，但它们很少是充分的。

　　　　例如，它们在下面的例子中是充分的。

　　　　从断定的交换律ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ，我们能推导出断定命题ＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒ：（１）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（１）ｐＣｐＣｑｒ，ｒＣｐｒ×Ｃ（１）—（２）

　　　　＇（２）ＣｑＣｐｃｑｒＣｐｒ，从这个断定命题我们能够再推导出交换律：（２）

　　　　ｑＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒ，ｐｓ，ｒｔ×Ｃ（２）—（３）

　　　　＇（３）ＣＣｓＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒｔＣｓｔ（２）ｑＣｐＣｑｒ，ｐｑ，ＴＣｐｒ×（４）

　　　　＇　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＇　　　　　　　　　　　　＇（４）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐＣｑｒＣｐｒＣｑＣｐｒ（３）ｓＣｐＣｑｒ，ｔＣｑＣｐｒ×Ｃ（４）—（１）

　　　　＇（１）ＣＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ①

　　　　但是我们不能用这个简单方法从断定的表达式ＣＮｐＣｐｑ推

　　　　①①　这个简洁的推导是Ａ塔尔斯基在华沙提出的。

　　　　W

……　165

　　　　３１。演绎的等值式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３５１

　　　　导出邓斯司各脱定律ＣｐＣＮｐｑ，因为我们只能用代入规则从W第一个表达式推出新命题，而所有的ＣＮｐＣｐｑ的代入都是以ＣＮ开头的，没有一个是用Ｃｐ开头。

　　　　要从另外一个表达式推导出那些表达式中的一个来，我们必须要有进一步的支持。

　　　　一般地说，演绎等值式的关系少有是绝对的，而在大多数场合，它是与一些断定命题的某一个基础相关的。

　　　　在我们的场合，这个基础就是交换律。

　　　　从（５）ＣＮｐＣｐｑ开始，我们用交换律得到邓斯司各脱定律：W（１）ｐＮｐ，ｑｐ，ｒｑ×Ｃ（５）—（６）

　　　　＇（６）ＣｐＣＮｐｑ，并且从（６）开始，我们又用交换律再得到（５）

　　　　：（１）ｑＮｐ，ｒｑ×Ｃ（６）—（５）

　　　　＇（５）ＣＮｐＣｐｑ。

　　　　所以我说ＣＮｐＣｐｑ与ＣｐＣＮｐｑ就交换律而言是演绎地等值的，并且我写作：

　　　　ＣＮｐＣｐｑ～ＣｐＣＮｐｑ对（１）而言。

　　　　记号～表示演绎的等值式的关系。

　　　　这个关系不同于通常的等值关系（此处用Ｑ表示）。

　　　　通常的等值关系是用两个彼此互相换位的蕴涵式的合取式来定义的，

　　　　Ｑｐｑ＝ＫＣｐｑＣｑｐ，而不需要任何基础。

　　　　如果一个通常的等值关系Ｑαβ被断定了，并且α或α的一个替代者也被断定了，那么，我们就能断定β，或β的相应的替代者，并且，反之亦然。

　　　　所以，一个断定的通常的等值式Ｑαβ对于演绎的等值式α～β是一个充分

……　166

　　　　４５１第五章　判定问题

　　　　的基础；但是它并非是必要的基础，这恰好就是需要说明之点。

　　　　不仅断定的或真的表达式而且假的表达式都可以是演绎地等值的。

　　　　为了解决对于Ｃ—Ｎ系统的判定问题，我们必须把一个任意的有意义的表达式α变形为表达式ＣＮαπ，π是一个不在α中出现的命题变项。

　　　　这可以借助于两条断定命题做到：Ｓ１。

　　　　ＣｐＣＮｐｑＳ２。

　　　　ＣＮｐ。

　　　　我说对Ｓ１与Ｓ２而言，α与ＣＮαπ是演绎地等值的，并且我写作：Ⅰ。

　　　　α～ＣＮαπ对Ｓ１与Ｓ２而言。

　　　　当α被断定时，一切都容易进行。

　　　　以ＮＮＣｐｐ为例。

　　　　这是一个容易由０—１方法确证的断定命题。

　　　　根据公式Ｉ我陈述：

　　　　ＮＣｐ～ＣＮＣｐｑ对Ｓ１与Ｓ２而言。

　　　　从（７）ＮＮＣｐ开始，我们用Ｓ１得到：

　　　　Ｓ１。

　　　　ｐＮＮＣｐ×Ｃ（７）—（８）

　　　　＇（８）ＣＮＣｐｑ，并且从（８）开始，我们用代入和Ｓ２得到：（８）ｑＮＮＣｐ×（９）

　　　　＇（９）ＣＮＣｐＮＣｐ

　　　　Ｓ２。

　　　　ｐＮＮＣｐ×Ｃ（９）—（７）

　　　　＇（７）。

　　　　ＮＣｐ。

　　　　但α是一个任意的表达式；它可以是假的，例如Ｃｐｑ。

　　　　在这个

……　167

　　　　３１。演绎的等值式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５５１

　　　　场合公式Ⅰ读作：Ｃｐｑ～ＣＮＣｐｑｒ对Ｓ１与Ｓ２而言在这里，困难开始了：我们能从Ｓ１用代入ｐＣｐｑ，ｑｒ，得到＇　　　　　　　　　　　＇断定命题ＣＣｐｑＣＮＣｐｑｒ，但我们不能从这个断定命题引出后件ＣＮＣｐｑｒ，因为Ｃｐｑ不是一个断定命题并且不能加以断定。

　　　　所以ＣＮＣｐｑｒ不能被分离出来。

　　　　还有一个更大的困难在另一个方向出现：我们能够从Ｓ２用代入ｐＣｐｑ得到断定命题ＣＣ＇　CＮＣｐｑＣｐｑＣｐｑ，但ＣＮＣｐｑＣｐｑ没有被断定，我们也不能从ＣＮＣｐｑｒ用代入得到ＣＮＣｐｑＣｐｑ，因为ＣＮＣｐｑｒ不是一个断定命题。

　　　　我们不能说：假定Ｃｐｑ被断定了，那么，就会得出ＣＮＣｐｑｒ。

　　　　断定一个假的表达式是一个错误。

　　　　而我们不能希望用一个错误来证明任何东西。

　　　　因此公式Ⅰ看来不是对所有的表达式而只是对那些被断定的表达式才是正确的。

　　　　照我看，只有一个办法来避免这些困难：那就是把排斥引入演绎理论。

　　　　我们作为公理排斥变项ｐ，并且承认清楚的排斥规则（ｃ）和（ｄ）。

　　　　在这个基础上就能够容易地表明Ｃｐｑ必定被排斥。

　　　　因为我们从公理（P１０）ｐ以及断定命题（１）ＣＣｐ用排斥规则可得：（１）×Ｃ（P１２）—（P１０）

　　　　（P１２）ＣＣｐ（P１２）×（P１３）ｐＣｐ，ｑｐ＇（P１３）Ｃｐｑ。

……　168

　　　　６５１第五章　判定问题

　　　　现在我们能够证明如果Ｃｐｑ被排斥，ＣＮＣｐｑｒ必定也被排斥；以及相反地，如果ＣＮＣｐｑｒ被排斥，Ｃｐｑ必定也被排斥。

　　　　从（P１３）Ｃｐｑ开始，我们用Ｓ２及排斥规则得到：

　　　　Ｓ２。

　　　　ｐＣｐｑ×（１４）

　　　　＇（１４）ＣＣＮＣｐｑＣｐｑＣｐｑ（１４）×Ｃ（P１５）—（P１３）

　　　　（P１５）ＣＮＣｐｑＣｐｑ（P１５）×（P１６）

　　　　ｒＣｐｑ＇（P１６）ＣＮＣｐｑｒ。

　　　　在另一方向从（P１６）用Ｓ１我们容易地得到Ｃｐｑ：

　　　　Ｓ１。

　　　　ｐＣｐｑ，ｑｒ×（１７）

　　　　＇（１７）ＣＣｐｑＣＮＣｐｑｒ（１７）×Ｃ（P１３）—（P１６）

　　　　（P１３）Ｃｐｑ。

　　　　公式Ⅰ现在已充分地被证明了。

　　　　然而，我们必须校正我们前面的演绎等值式的定义，说成：两个表达式就某些断定命题而言是演绎地互相等值的，当且仅当我们能够用这些断定命题和推论规则来证明：如果那些表达式之一被断定，另一个必定也被断定，或者如果它们中的一个被排斥，其它一个必定也被排斥。

　　　　从这个定义可知通常的等值式不是演绎等值式的一个必要的基础。

　　　　如果Ｑαβ是一个断定命题，对于Ｑαβ而言，α是演绎地等值于β这是真的；但是如果对于某些断定命题而言α

……　169

　　　　３２。化归为初等表达式A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７５１

　　　　是演绎地等值于β，那么Ｑαβ是一个断定命题就并不总是真的了。

　　　　以刚才考虑的演绎等值式为例：

　　　　Ｃｐｑ～ＣＮＣｐｑｒ对Ｓ１与Ｓ２而言。

　　　　其相应的通常的等值式ＱＣｐｑＣＮＣｐｑｒ不是一个断定命题，因为它对于ｐ１，ｑ０，ｒ１来说乃是假的。

　　　　＇很明显，演绎等值的关系是自返的，对称的和传递的。

　　　　有这种情况，对于某些断定命题而言，α是演绎地等值于两个表达式β并且γ。

　　　　那就是说：如果α被断定，则β被断定并且γ被断定，并从而它们的合取式“β并且γ”被断定；而反之，如果β和γ两者，或它们的合取式“β并且γ”被断定了，那么α也被断定。

　　　　再有，如果α被排斥，则合取式“β并且γ”必定被排斥，而且在这个场合，只要β和γ两者之一应被排斥就足够了，而反之，如果它们中有一个被排斥，α必定也被排斥。

　　　　３２。化归为初等表达式A我们的判定的证明是基于以下定理：（ＴＡ）亚里士多德三段论系统的每一个有意义的表达式都能够用一个演绎地等值的方法（对于演绎理论的断定命题而言）

　　　　化归为一组初等表达式，亦即具有形式

　　　　Ｃα１Ｃα２Ｃα３…

　　　　Ｃαｎ１ＣαｎC的表达式，其中所有α都是三段论系统的简单表达式，亦即Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ，和Ｏａｂ类型的表达式。

　　　　所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者

……　170

　　　　８