金色琴弦-第3章

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　　　　让我们从维氏的一个例子生发出一个新例子来。一种语言里没有“把石板搬过来”这样的结构，我们喊“把石板搬过来”，他们只能喊“石板”，那么他们的“石板”是否和我们的“把石板搬过来”相当呢？他们到我们这里找了份工作，听到“把石板搬过来”的时候，就会像在自己的国度里听到“石板”那样行动。在这个意义上，这两句话的意思是相当的。然而，这时师傅说：“是让你搬过来，不是让你推过来”；本地的学徒会改变搬运的方式，外来的学徒却不知所措了。在这个意义上，“石板”和“把石板搬过来”的意思又不相当。这其实是一个寻常问题。Forｃｅ和“力量”相当不相当？ｍａndｅsirｅstoknowbynａturｅ这句英文和“求知是人的天性”是不是相当？设想这句英文后面跟着butnotwoｍａn。简单说，句子一方面和情境相联系，和句子的“用途”相联系，一方面和借以构成的词汇相联系。单就用途来说，词汇只是句子的材料，只要句子具有同样的用途，使用什么词汇都无所谓；材料消失在用途里。然而在诗里，诗句的意思和选用的词汇却密不可分。套用一句已经变得陈腐的话：艺术是形式和质料的完美结合。我们说，诗就是在翻译中失去的那一部分。什么失去了？用这些特定的语词表达这一特定的整体意义。每种语言都有独特的语词系统。表达“同样的意思”用的是不同的语汇，恰恰是不同语言的不同之处。那么，诗就在把语词结合起来表达意思的同时保持着语词本身的力量。在极端处，诗句的意义完全由其所包含的语词规定，而与怎样使用这句诗无关。在这个意义上，诗是“无用”的，不用来传达信息，不用来下命令或恳求。但这不是说诗不起作用。诗的作用在于造就规范，在于揭示语词的意义。按照海德格尔的说法，与制造器物不同，艺术作品不耗用材料，而是使材料本身的色彩和力量突显出来。艺术关心的不是有用，而是让存在者如其所是地显现自身。事物的本然面貌在诗中现象，也就是说，诗从存在的无声之音那里承接下本质的言词，从而才有语言的日常“使用”。那么，我们唯通过诗才学会适当地“使用”语言，用语言来表达思想，传达信息，下达命令。
　　　　尽管有这些差异，海维二人的基本趋向仍然是很接近的。日常语言突出了语言的承传，存在之言也是一样的，因为在海德格尔那里，存在始终是历史性的。存在者以何种方式显现，存在者怎么才是存在者怎么才不是存在者，不是一个先验问题，更不是人们可以随心所欲加以决定的。人被抛入其历史性的存在。
　　　　的确，尽管海维两人的教育背景思想渊源差别很大，两人的方法风格迥异，但深入他们的根本立论，我们可以感觉到一种共同的关切。我有时称之为对人类生存和认识的有限性的关切：如果逻各斯是历史的承传，我们还有没有绝对可靠的理解？如果意义要从情境加以说明，人生还有没有终极意义？上帝死了，怎么都行了？没有对错善恶之别了？若有，又该由谁由什么来作出最终裁判？一句话，祓除了绝对怎样不陷入“相对主义”呢？往大里说，这是我们时代最具普遍性的问题。宗教、道德、艺术、政治甚至科学，都面临相应的挑战。
　　　　然而，正如海德格尔最初就指出来的，不管喜欢不喜欢，有限性是现代人必须承担起来的天命。海氏强调存在的有限性、历史性，维氏强调生活形式、语言游戏的自然史。其实，只因为我们是有限的，才会出现意义问题，也只有从有限出发，才能解答意义问题。我们不再从绝对的出发点，用上帝的全知的眼睛来看待世界，而是用人的眼睛来看待世界。
　　　　Wｅｃａn’tsolvｅproblｅｍsbyusingthｅsａｍｅkindofthinkingwｅusｅdwhｅnwｅｃrｅａtｅdthｅｍ。—ａlbｅrtｅinstｅin
　　　　写下这个题目，不免有些惊心动魄，这些主题词未免太大了，还好本文只是讨论它们之间的这一“――”，即对这些主题词的相关方面作一些初步的探讨。
　　　　1．悖论
　　　　悖论自古有之。比较出名的是说谎者悖论：一个人说了一句话：“我现在在说谎”。我们来分析一下这句话是真话，还是谎话。假设这句话是真话，由它的内容所指，则这句话是谎话；反过来，假设这句话是谎话，那么“我现在在说谎”就是谎话，因此他说的是实话。
　　　　由这句话是真话，可以推导出这句话是谎言；由这句话是谎话，又可以推导出这句话是真话。这就称为悖论。
　　　　更形式化的悖论定义是：“由ａ可以推导出┐ａ，并且由┐ａ可以推导出ａ。”
　　　　悖论还有很多，如“苏格拉底悖论”、“万能上帝悖论”、中国古代的“矛盾悖论”、“先有鸡先有蛋悖论”、“自由悖论”、康德的二律背反等等。
　　　　还有一类跟悖论很相近的命题，我们不妨称之为“自毁命题”。自毁命题的定义是：“由ａ可以推导出┐ａ，但由┐ａ并不能推导出ａ。”自毁命题具有自毁性质，自毁命题本身是不能成立的，但它的否定却没有约束。
　　　　比如克里特哲学家说：“克里特人总是说谎”，这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似，但两者并不一样。假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲学家也总是说谎，这个哲学家现在当然也是在说谎，即这句话是谎言；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎”，由此并不能推出矛盾。
　　　　再看“世上没有绝对的真理”，这也是一个自毁命题。假设这句话是真的，那么世上就有了绝对的真理，这与话语所指矛盾；假设这句话是假的，也就是“世上有某些绝对的真理”，这并不能产生矛盾。
　　　　再如“中国文化一无用处”，这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话，这样来看，中文文字就是有用的，也即中国文化的某些东西是有用的，这就与原命题矛盾；反过来，这个命题的否定也并不能产生矛盾。
　　　　《五灯会元》里有长爪梵志与佛陀的辩论，长爪梵志的立论命题是“什么都不接受。”佛陀就问道：“那你接受不接受‘什么都不接受’这个观点呢？”长爪梵志无言，只好认输。这也是一个自毁命题。
　　　　自毁命题也还有很多，比如“真理是不可言说的”，“墙上不准写字”，“我没有在说话”，“我在睡觉”，“以暴止暴”等。
　　　　另外，还有一类“自成命题”。自成命题的定义是：“ａ并不可以推导出┐ａ，但由┐ａ可以推导出ａ。”自成命题具有自成性质，自成命题的否定将导致矛盾的，但它的肯定却没有约束。比如哥德尔语句，就是自成命题。
　　　　悖论与自毁命题、自成命题的一个区别是：自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。
　　　　悖论与自毁命题、自成命题的相同之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖论在肯定和否定命题两个方向都会产生矛盾，而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾，自成命题在否定命题时会产生矛盾。自毁命题只能假，自成命题只能真。
　　　　2．罗素悖论
　　　　悖论里面最出风头的要数“罗素悖论”，他直接引起了“第三次数学危机”，撼动了整个数学的基础。
　　　　以下，我们介绍一下“罗素悖论”。如果集合具有自己属于自己的性质，那么我们称这个集合是“自吞的”，比如所有集合的集合。现在假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的？如果说T不是自吞的，那么T将属于自己，那么T就是自吞的。如果说T是自吞的，那么T便具有T内元素的性质“不自吞”，即T是不自吞的。
　　　　“罗素悖论”的通俗形式是“理发师悖论”：一个理发师声称他给且只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？如果他不给自己理发，那么按照他的声称，他应该给自己理发。如果他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发”性质的，也就是他不为自己理发。
　　　　数学家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方，一个人早上醒来，却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来，却发现自己的家人都不见了，自己的家都“空”了。这样的感觉无疑是使人震惊，甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的，那么数学家们就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现。如此，公理集合论就渐渐发展起来了。其中，ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目前还没出现矛盾，但问题是经过了“第三次数学危机”，如何叫数学家们相信“ZF公理集合论是一致的”？
　　　　这个问题又扩展到对数学基础的反思，什么样的数学基础是稳固的？数学真理的本质是什么？数学命题有什么意义？它们是建基于什么样的证明之上的？［1］
　　　　对于此问题的不同看法，数理逻辑界形成了三派：逻辑主义学派学派。本文主要涉及形式主义学派。
　　　　希尔伯特大力提倡数学的形式主义。在那个时期，初等几何、算术、群、环、域、拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回顾历史，我们还可以惊奇地发现，哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。
　　　　希尔伯特提出了希尔伯特方案，也就是把古典数学的每一分支都形式化，并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性，也就是一致性，即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性，是指这个形式系统里面的任一公式ａ，或者ａ是可证的，或者是┐ａ可证的。
　　　　正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学基础问题时，哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。
　　　　3．哥德尔
　　　　哥德尔在中国是值得大吹特吹的人物，国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界，甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内，哥德尔远不如爱因斯坦名声响。究其原因，除了哥德尔理论的艰涩外，可能还由于哥德尔本人性格的内向。
　　　　哥德尔
　　　　在第一不完全性定理中，哥德尔证明了，任一包含算术的形式系统，它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说，如果一个包含算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全，就是指存在一个公式ａ，使得ａ和┐ａ在这个系统内都不可证。
　　　　在哥德尔第一不完全定理中，哥德尔创造性地应用了很多理论，如递归函数，哥德尔编码，对角化，自引用等。在可计算的意义下，N上可表达性、递归函数、图灵可计算、lａｍbdａ函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。
　　　　4．自引用
　　　　哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述：“这个数论语句在系统中是不可证的。”这个G是不可证的，也就是“这个数论语句在系统中是不可证的”在系统中是不可证的。在这里，我们看到了“自引用”。
　　　　这种怪圈并不是在数学上独有的。侯世达先生的《哥德尔、艾舍尔、巴赫――集异壁之大成》［2］是人工智能界的一本奇书。在这本书里，作者考察了各种形式的“自引用”。为了对这种“自引用”有个直观的了解，大家不妨看一下艾舍尔的木雕画，看看那些“瀑布”、“拿着反光球的手”、“变形”、“左手画右手，右手画左手”等怪画。同样，在巴赫的卡农与赋格里，也存在类似的怪圈。数理逻辑学家哥德尔更是神奇般地把这种怪圈引进了以精确著称的数学领域。令人叫绝的是，侯世达先生甚至在本书的创作中也使用了很多怪圈。
　　　　另外，在博尔赫斯和卡尔维诺的文学作品里，我们也可以看到类似的怪圈。我在《玄奘东归记》的创作中，也尝试使用了这种怪圈。
　　　　再者，这种怪圈在道德界也经常可以发现，但它往往是以反面的形式出现，也就是“不自指”的。我们习惯于指责他人，我们很难做到“责人先责己”。我们严于律人，宽以待己。我们习惯于指责其它民族，我们却很难反省一下我们历史上的“帝王将相”动则活埋