妙趣横生博弈论-第8章
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�1加仑油可以走10π英里。”，我们也认为不会。因此，我们确实可以把16从正确答案中排除。
现在，我们再回过来看看4π和16π这两个完全平方数。暂且假设16π平方英寸是正确答案。那问题就有可能是“半径为4的圆的面积是多少？”正确的圆的面积公式是πr2。但是，不太记得这个公式的人很可能会把它与圆的周长公式2πr混淆。（是的，我们知道，周长的单位是英寸，不是平方英寸，但犯错误的人未必能意识到这个问题。）
注意，如果半径r=4，那么2πr就是8π，这样的话；考生就会得出错误的答案即b选项了。这个考生也有可能混淆后又重新配成公式2πr2，从而得出32π或者e选项为正确答案。他也有可能漏掉π，结果得出c选项；或者他可能忘记将半径平方，简单地把πr用做面积公式，结果得出a选项。总之，如果16π是正确答案，我们就可以找到一个使所有答案都有可能被选的合理的题目。对出题者而言，它们都是很好的错误答案。
如果4π是正确答案（那么r=2）又会怎么样？现在，想想最常见的错误——把周长和面积混淆。如果学生用了错误公式2πr；他仍然能得到4π，虽然单位不正确。在出题者看来，没有什么事情比允许考生用错误的推算得到正确的答案更糟糕了。因此，4π是一个很糟糕的正确答案，因为它会令太多不知所为的人得满分。
至此，我们分析完了。我们信心十足地认为正确答案是16π。而且我们是正确的。通过揣摩出题者的目的，我们可以推断出正确的答案，甚至常常不用看题目。
现在，我们并不是建议你在参加GMAT或其他考试时为了省事甚至连题目都不看。我们认为，如果你聪明到足以了解这一逻辑，那么，你很可能也知道圆面积的公式。但是你却一直都不知道这个公式。有时候还会出现一些这样的情况：你不明白其中一个答案的意思，或者这个问题的知识点不在你的课程范围内。当你遇到这些情况时，回想一下这个考试博弈可能有助于你得出正确答案。妙趣横生博弈论第2章逆推可解的博弈
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策略互动的两种方式
任何人都会劝告查理不要上露西的当。即便露西去年（以及前年和大前年）没有在他身上玩过这个花招，他也应该从其他事情了解她的性格，完全可以预见到她会采取什么行动。
虽然在查理盘算要不要接受露西的邀请去踢球的时候，露西的行动还没有发生。不过，单凭她的行动还没有发生这一点，并不意味着查理就应该把这个行动看做是不确定的。他应该知道，在两种可能的结果中，让他踢中那个球以及看他仰面跌倒，露西偏好于后者。因此，他应该预见到，一旦时机到了，露西就会把球拿开。露西会让他踢中那个球的逻辑可能性实际上对他毫无影响。查理对这样一种可能性仍然抱有信心，套用约翰逊博士描述的再婚特征，是希望压倒经验的胜利。查理不应该那样想，而应该预见到接受露西的邀请最终会不可避免地让自己仰面跌倒。他应该拒绝露西的邀请。
策略博弈的本质在于参与者的决策相互依存。这种相互作用或互动通过两种方式体现出来。第一种方式是序贯发生，比如查理·布朗的故事。参与者轮流出招。当轮到查理的时候，他必须展望一下他当前的行动将会给露西随后的行动产生什么影响，反过来又会对自己以后的行动产生什么影响。
第二种互动方式是同时发生，比如第1章的囚徒困境故事。参与者同时出招，完全不理会其他人的当前行动。不过，每个人必须心中有数，明白这个博弈中还存在其他积极的参与者，而这些人反过来同样非常清楚这一点，依此类推。从而，每个人必须将自己置身他人的立场，来评估自己的这一步行动会招致什么后果；其最佳行动将是这一全盘考虑的必要组成部分。
一旦你发现自己正在参与一个策略博弈，你必须确定其中的互动究竟是序贯发生的还是同时发生的。有些博弈，比如足球比赛，同时具备上述两类互动元素，这时你必须确保自己的策略符合整个环境的要求。在本章，我们将初步介绍一些有助于参与序贯行动博弈的概念和法则；而同时行动博弈则是第3章的主题。我们从非常简单、有时候是刻意设计出来的例子开始，比如查理·布朗的故事。我们故意这么做，是因为这些故事本身并不太重要，正确的策略通常也可由简单的直觉就能发现，而这么做却可以更加清晰地凸现故事中蕴涵的思想。我们所用的例子将在案例分析及以后的章节中变得越来越接近现实生活，也越来越复杂。
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第一条策略法则
序贯行动博弈的一般原则是，每一个参与者必须推断其他参与者接下来的反应，并据此盘算自己当前的最佳行动。这一点非常重要，值得确立为一条基本的策略行为法则。
法则1：向前展望，倒后推理。
展望你的初始决策最后可能导致什么后果，利用这个信息确定自己的最佳选择。
在查理·布朗的故事里，做到这一点对所有人来说应该都不费吹灰之力（只有查理·布朗例外）。查理只有两个选择，其中一个选择会导致露西在两种可能行动之间进行决策。大多数策略局势都会涉及一个更长的决策序列，每个决策又对应着几种选择。在这样的博弈中，涵盖博弈中全部选择的树图作为一种视觉辅助工具，有助于我们进行正确推理。现在我们就来演示一下如何运用这些树。
决策树与博弈树
即使一个孤立的决策者，置身于一个有其他参与者参加的策略博弈中，也可能会面对需要向前展望、倒后推理的决策序列。例如，走在黄树林中的罗伯特·费罗斯特（Robert Frost）：两条路在树林里分岔，而我，
我选择人迹罕至的那一条，
从此一切变了样。1我们可以对此图示如下：
到此未必就不用再选择了。每一条路后面可能还会有分岔，这个图相应地会变得越来越复杂。以下是我们亲身经历的一个例子。
从普林斯顿到纽约旅行会遇到几次选择。第一个决策点是选择旅行的方式：乘公共汽车、乘火车还是自己开车。选择自己开车的人接下来就要选择走费拉扎诺（Verrazano）桥、霍兰（Holland）隧道、林肯（Lincoln）隧道还是乔治·华盛顿（George Washington）桥。选择乘火车的人必须决定是在纽瓦克（Newark）换乘PATH列车，还是直达纽约Penn车站。等进入纽约，搭乘火车或公共汽车的人还必须决定怎样抵达自己的最后目的地，是步行、乘地铁（是本地地铁还是高速地铁）、乘公共汽车还是搭出租车。最佳选择取决于多种因素，包括价格、速度、不可避免的交通堵塞、纽约市最终目的地所在，以及对新泽西收费公路上的空气污染的厌恶程度，等等。
这个路线图描述了你在每个岔路口的选择，看起来就像一棵枝繁叶茂的大树，所以称为“决策树”。正确使用这样一张图或一棵树的方法，绝不是选择那个第一个分支看上去最好的路线。例如，当各种方式的其他方面相同时，你会更喜欢自己开车而不是乘火车，然后“到达下一个岔路口的时候再穿过费拉扎诺桥。”相反，你应该预计到以后将面临的决策，然后根据这些决策做出你的早期选择。举个例子，如果你想要去市区，那么乘PATH列车会比开小汽车要好，因为乘PATH列车可以从纽瓦克直达市区。
我们可以通过下图来描述一个策略博弈中的选择。不过，现在图中出现了一个新元素。我们遇到了一个有两个人或更多人参与的博弈。沿着这棵树的各个决策点，可能是不同的参与者在进行决策。每个参与者在前一个决策点做决策时必须向前展望，不仅要展望他自己的未来决策，还要展望其他参与者的未来决策。他必须推断其他人的下一步决策，办法就是想象自己站在他们的位置，按照他们的思维方式思考。为了强调这个做法与前一个做法的区别，我们把反映策略博弈当中决策序列的树称为博弈树，而把决策树留做描述只有一个人参与的情形。
足球赛和商界中的查理·布朗
尽管本章开篇提到的查理·布朗的故事非常简单，不过把故事转化成以下的图示，你就可以更加熟悉博弈树。在博弈起点，当露西发出邀请时，查理·布朗面临着是否接受邀请的决策。假如查理拒绝邀请，那么这个博弈到此为止。假如他接受邀请，露西就面临两个选择，一是让查理踢球，二是把球拿开。我们可以通过在路上添加另一个分叉的方法说明这一点。
正如我们先前所述，查理应该预计到露西一定会选择上面那个分支。因此，他应该置身于她的立场，从这棵树上剪掉下面那个分支。现在，如果他再选择自己上面的那个分支，结果一定是仰面跌倒。因此，他最好选择下面的分支。我们用加粗的带箭头的分支来表示这些选择。
你是否认为这个博弈太微不足道？以下是它在商业领域的一个版本。设想以下情景，已成年的查理目前正在（假设）弗里多尼亚国（Freedonia）度假。他和当地的一个生意人弗里多（Fredo）聊了起来，弗里多谈起了一个只要投入资本就可以获利的绝妙机会，他大声地说道：“你给我10万美元，一年后我会把它变成50万美元，到时候我和你平分这笔钱。所以，你将在一年内获得两倍以上的钱。”弗里多所说的机会确实令人向往，何况他很乐意按照弗里多尼亚的法律规定签订一份正规合同。但弗里多尼亚的法律有多可靠？如果一年后弗里多卷款潜逃，已经返回美国的查理能向弗里多尼亚的法院要求执行这份合同吗？法院有可能会偏向自己的国民，或者可能效率很低，又或者可能被弗里多收买。因此，查理实际上是在和弗里多进行一场博弈，博弈树如下图所示。（注意，如果弗里多遵守合同，他会付给查理25万美元；这样，查理获得的利润等于25万美元减去初始投资10万美元，即15万美元。）你认为弗里多会怎样做？在没有十足把握相信弗里多承诺的情况下，查理应该预计到弗里多一定会卷款潜逃，就像小查理确定露西一定会把球拿开一样。事实上，两个博弈的博弈树在本质上是相同的。但是，面临这样的博弈时，多少“查理”做出了错误的推理？
有什么理由可以让查理相信弗里多的承诺？或许，弗里多同时也和其他一些企业做交易，这些企业需要在美国融资或者出口商品到美国去。那么，查理很有可能会毁坏弗里多在美国的声誉或者直接扣押他的货物，以此向弗里多实施报复。所以，这个博弈可能只是更大的博弈的一部分，或许是一个持续的互动过程，这一点确保了弗里多的诚信。但是，在我们上述说明的一次性博弈中，这种倒后推理的逻辑非常明了。
我们希望借助这个博弈得到三点结论。第一，不同的博弈可以采用相同的或者极为相似的数学形式（博弈树，或者在以后章节中提到的用来描述博弈的图标）。用这种形式来进行思考反过来又突出了它们的相似之处，使你更容易将你掌握的关于一种情形下的博弈知识运用到另一种情形中去。这是所有学科理论的重要功能：它提炼出各种明显不同背景的本质相似性，使得一个人能够以一种统一而简单化的方式对各种情形进行思考。许多人本能地讨厌所有理论。但我们认为这是一个错误的反应。当然，理论确实有其局限性。特定的背景和经历通常能大大扩展或修正一些理论方法。但是，抛弃所有理论就相当于抛弃一个有价值的思维出发点，一个克服难题的立足点。当你进行策略思维时，你应该把博弈论当做你的朋友，而不是一个怪物。
第二，弗里多应该认识到，具有策略思维的查理一定会怀疑他所说的话的可靠性，而且根本不会投资，这样，弗里多就失去了赚取25万美元的机会。因此，弗里多有强烈的动机使其承诺可以置信。作为一个生意人，他对弗里多尼亚国脆弱的法律体系几乎没有任何影响力，因此并不能以此来打消这位投资者的顾虑。他还有其他办法让自己的承诺可信吗？我们将会在第6章和第7章考察常见的可信问题，并介绍一些达到可信的方法。
第三，或许也是最重要的一个结论，涉及对参与者不同备择选项不同结果的比较。一个参与者获得更多并不总是意味着另一个参与者获得更少。查理选择投资而弗里多选择遵守合同这种对双方都有利的情形，优于查理根本不投资的情形。和体育比赛或者其他比
